Objetivo
El objetivo de este blog es ayudar y recopilar información para aquellas personas que estén necesitando ayuda en temas de matemáticas administrativas.
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En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A= π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.
En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número enteroposee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):
| ... | −2 → +4, | −1 → +1, | ±0 → ±0, | |
| +1 → +1, | +2 → +4, | +3 → +9, | ... |
Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:
| ..., | Estación → E, | Museo → M, | Arroyo → A, | Rosa → R, | Avión → A, | ... |
Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.
La manera habitual de denotar una función f es:
Dominio, condominio y rango
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En su forma más simple el dominio son todos los valores a los que aplicar una función, y el rango son los valores que resultan.
Pero de hecho son conceptos importantes cuando sedefine una función. ¡Sigue leyendo!
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Por favor, primero lee "¿Qué es una función?"...
Funciones
Una función relaciona una entrada con una salida.
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Ejemplo: este árbol crece 20 cm cada año, así que la altura del árbol está relacionada con la edad por la función a:
a(edad) = edad × 20
Así que si la edad es 10 años, la altura es a(10) = 200 cm
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Decir que "a(10) = 200" es como relacionar 10 con 200. O bien 10 → 200
Entrada y salida
Pero muchas veces es importante decir qué valores pueden entrar y pueden salir de una función.
Aquí tienes algunas razones:
- La función no funciona si das valores equivocados (como una edad negativa)
- Limitar los valores de entrada te puede permitir hacer después cosas especiales con la función
- Saber el tipo de valores de salida (por ejemplo siempre positivos) también ayuda
Entonces, ¿cómo se dice lo que entra o sale en una función? respuesta: se usan conjuntos...
| Un conjunto es una colección de cosas, por ejemplo números.
Aquí tienes unos ejemplos:
Conjunto de números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
Conjunto de números impares: {..., -3, -1, 1, 3, ...} Conjunto de números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...} Múltiplos positivos de 3 que son menores que 10: {3, 6, 9} |
De hecho, las funciones se definen sobre conjuntos:
 | Definición formal de una función
Una función relaciona cada elemento de un conjunto
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Dominio y rango
Hay nombres especiales para lo que puede entrar, y también lo que puede salir de una función:
  | Lo que puede entrar en una función se llama el dominio |
| Lo que es posible que salga de una función se llama el codominio |
| Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen |
Entonces, en el diagrama de arriba el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es el codominio, y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos realmente por la función) son el rango.
Parte de la función
Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el dominio.
De hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da una función diferente.
Ejemplo: una simple función como f(x) = x2 puede tener dominio (lo que entra) los números de contar {1,2,3,...}, y el rango será entonces el conjunto {1,4,9,...}
Y otra función g(x) = x2 puede tener como dominio los enteros {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}, entonces el rango será el conjunto {0,1,4,9,...}
| Aunque las dos funciones toman la entrada y la elevan al cuadrado, operan enconjuntos diferentes de entradas, y por eso dan salidas diferentes. |
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También tienen diferentes propiedades.
Por ejemplo f(x) siempre da resultados distintos, pero g(x) puede dar la misma respuesta para dos entradas (como g(-2)=4 y g(2)=4)
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Así que el dominio es una parte muy importante de la función.
Entonces, ¿todas las funciones tienen su dominio?
Sí, pero en matemáticas sencillas no lo notas, porque el dominio se supone:
- Normalmente se supone que es algo así como "todos los números que hacen que funcione".
- O si estás estudiando números enteros, el dominio será los enteros.
- etc.
¡Pero en matemáticas más avanzadas tienes que tener cuidado!
Codominio y rango
El codominio y el rango tienen que ver con la salida, pero no son exactamente lo mismo.
El codominio es el conjunto de valores que podrían salir.
El rango es el conjunto de valores que realmente salen.
Ejemplo: puedes definir una función f(x)=2x con dominio y codominio los enteros (porque tú lo eliges así).
Pero si lo piensas, verás que el rango (los valores que salen de verdad) son sólo los enteros pares.
Así que el codominio son los enteros (lo has elegido tú) pero el rango son los enteros pares.
Así que rango es un subconjunto del codominio.
¿Por qué los dos? Bueno, a veces no conoces exactamente el rango (porque la función es complicada o no es conocida del todo), pero sabes el conjunto en el que está (como los enteros o los reales). Así que defines el codominio y sigues trabajando.
La importancia del codominio
Déjame que te haga una pregunta: ¿la raíz cuadrada es una función?
Si tú dices que el codominio (las salidas posibles) es el conjunto de los números reales, ¡entonces la raíz cuadrada no es una función! ... ¿te sorprende?
La razón es que podría haber dos respuestas para una entrada, por ejemplo f(9) = 3 o -3
Una función debe ser univaluada. No puede dar 2 resultados para el mismo valor de entrada. ¡Por ejemplo "f(2) = 7 o 9" no está bien!
Pero se puede arreglar simplemente limitando el codominio a los números reales no negativos.
√De hecho, el símbolo radical (como en √x) siempre significa la raíz cuadrada positiva (la principal), así que √x es una función porque su codominio es correcto.
Así que el codominio que elijas puede afectar el que algo sea o no una función.
Notación
A los matemáticos no les gusta escribir muchas palabras cuando unos pocos símbolos hacen el mismo trabajo. Así que hay maneras de decir que "el dominio es", "el codominio es", etc.
Esta es la mejor manera que conozco:
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Esto dice que la función "f" tiene dominio "N" (los números naturales), y también codominio "N".
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y esto dice que la función "f" toma "x" y devuelve "x2"
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- f: A → B
- a → f(a),
donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; y B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:
- f: Z → N
- k → k2, o sencillamente f(k) = k2;
- g: V → A
- p → Inicial de p;
si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.
Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.
Bibliografía: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://www.youtube.com/watch?v=RYXydLuHRNshttps://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=video&cd=6&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjOu7avmb7JAhVLcD4KHQ7GCQUQtwIIKTAF&url=http%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3Dix27XcOxImQ&usg=AFQjCNEMAk8MFss91WaYcSqT5nA0IGh8Rg&s
g2=NcwPGd1j95ADsx9p8speGg
muy bien solo pon la información bien , tienes muchas letras que no se saben que es en el modulo 5 ten cuidado con eso , pero tu muy bien.
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