5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.

Funciones crecientes y decrecientes

v Una función que siempre es creciente o decreciente en un intervalo, se dice que es monótona en ese intervalo

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v En la figura de la izquierda se esboza la interpretación geométrica del teorema: "Prueba de la primera derivada". En la parte izquierda de la figura se tiene un valor máximo relativo en c, y se observa que f '(x)>0 para x<c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo derecho) y f '(x)<0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo); en la parte derecha se tiene un valor mínimo relativo en c, y se observa que f '(x)<0 para x<c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo derecho) y f '(x)>0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo)

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P r o c e d i m i e n t o

Para determinar los valores extremos relativos de una función se procede de la siguiente manera: 1.   Se halla la derivada de la función: f '(x) 2.   Se hallan los #s críticos de la función, esto es los valores de x para los cuales f '(x) = 0 o para los cuales f ' no existe. 3.   Se aplica el criterio de la primera derivada

Ejercicios resueltos   En los ejercicios 1 a 14, proceda a lo siguiente: (a) obtenga los extremos relativos de f aplicando la prueba de la primera derivada; (b) determine los valores x en los que ocurren extremos relativos; (c) determine los intervalos en los que f es creciente; (d) determine los intervalos en los cuales f es decreciente; (e) trace la gráfica correspondiente.

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S o l u c i o n e s

x f (x) f ' (x) Conclusión   - f  decrece -5 0 f  tiene un mínimo relativo   + f  crece

Enunciados

x f (x) f ' (x) Conclusión   + f  crece 0 f  tiene un máximo relativo   - f  decrece -1 0 f  tiene un mínimo relativo   + f  crece
	x y -1 -1 -1/3 5/27 0 0 1 -1 2 2

Enunciados

x f (x) f ' (x) Conclusión   + f  crece   - f  decrece 4 0 f  tiene un máximo relativo -4 0 f  tiene un mínimo relativo

Enunciados

Enunciados

	x y -6 2 -2.5 9 -1.5 -7 0 -1 2 0 6 0.5

Enunciados

Aplicando el criterio de la primera derivada, se resumen los resultados en la siguiente tabla: x f (x) f ' (x) Conclusión   + f  crece No existe No existe     - f  decrece 1.9 0 f  tiene un mínimo relativo   + f  crece

Enunciados

Aplicando el criterio de la primera derivada, se resumen los resultados en la siguiente tabla:

x f (x) f ' (x) Conclusión   + f  crece 0 0 No hay un extremo relativo   + f  crece 1.1 0 f  tiene un máximo relativo   - f  decrece 0 0 f  tiene un mínimo relativo   + f  crece https://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=video&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwj4sNWapsDJAhVIbD4KHTaCAP4QtwIIHTAB&url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DPfwuJIrxO0E&usg=AFQjCNFJnkN_fFABVIxTYetRFJ9qFd9shg&sig2=AAY3eFzMW44nAaIT63eKHg https://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=video&cd=5&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwj4sNWapsDJAhVIbD4KHTaCAP4QtwIIJjAE&url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DGAiq26fLQiU&usg=AFQjCNFGsw4G4jilrBb2hjfBc_6IAsynNg&sig2=YH-PfGj9dpQ5aFcC0LczdA